Question

3．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：
（1）∠BAC=2∠BEC；
（2）∠CAE+∠BEC=90°．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD，可得∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），又BE平分∠ABC，得到∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，进而得到∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC，得到等式∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到EG=EM，EN=EM，进而得到EG=EN，所以AE平分∠CAN，得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAN=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），即可解答．

解答 解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
即∠BAC=2∠BEC；
（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，

∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，
∴EG=EM
∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA
∴EN=EM
∴EG=EN
∴AE平分∠CAN
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAN=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠CAE+∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°．

点评 本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出辅助线，利用角平分线的性质解决问题．