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4.如图1,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线,∠ADF与∠AFD互余.
(1)试判断直线BE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,延长CB、DF相交于点G,过点B作BH⊥FG,垂足为点H,试判断∠FBH与∠GBH的大小关系,并说明理由.

分析 (1)由BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线,得到∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC,由于∠ABC+∠ADC=180°,于是得到∠ABE+∠ADF=90°,根据∠AD与∠AFD互余,得到∠ADF+∠AFD=90°,根据等量代换得到∠ABE=∠AFD,于是得到结论;
(2)由(1)知BE∥DF,得到BE∥DG,根据平行线的性质得到∠EBH+∠DHB=180°,由于BH⊥FG,得到∠DHB=90°由于∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°,得到∠ABE=∠CBE,等量代换得到结论.

解答 解:(1)BE∥DF,
理由:∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABE+∠ADF=90°,
∵∠ADF与∠AFD互余,
∴∠ADF+∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠AFD,
∴BE∥DF;

(2)∠FBH=∠GBH,
理由:由(1)知BE∥DF,
∴BE∥DG,
∴∠EBH+∠DHB=180°,
∵BH⊥FG,
∴∠DHB=90°,
∴∠EBH=180°-∠DHB=90°.
∴∠CBE+∠GBH=180°-∠EBH=90°,
∵∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°,
∵∠ABE=∠CBE,
∴∠ABH=∠GBH,
即∠FBH=∠GBH.

点评 本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的性质,垂直的定义,熟练掌握判定和性质定理是解题的关键.

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