【题目】D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点,O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.
(1)如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,点O所在位置应满足什么条件?(直接写出答案不需要说明理由.)
(3)在图2中作出点O,使得四边形DGFE是正方形(保留作图痕迹,不写作法).
【答案】(1)见解析;(2)当点O在以A为圆心,BC为半径的圆上时,四边形DGFE是菱形;(3)如图2,点O即为所求,见解析.
【解析】
(1)由三角形的中位线定理证DE=BC,DE∥BC,GF=BC,GF∥BC,则可得到DE=GF,DE∥GF,由平行四边形的判定即可证明结论;
(2)当点O在以A为圆心,BC为半径的圆上时,四边形DGFE是菱形,如图1-2,连接AO,因为当点O在以A为圆心,BC为半径的圆上时,AO=BC,由三角形的中位线定理可证DG=GF=EF=DE,即可得出四边形DGEF为菱形;
(3)在满足(2)的条件下,只要AO⊥BC,即可证四边形DGEF是正方形,过作 的垂线AM,在AM上截取AO,使AO=BC即可得到答案.
(1)证明:∵D、E分别是不等边三角形ABC的边AB、AC的中点,
∴DE=BC,DE∥BC,
∵点G、F分别是OB、OC的中点,
∴GF=BC,GF∥BC,
∴DE=GF,DE∥GF,
∴四边形DGFE是平行四边形;
(2)解:当点O在以A为圆心,BC为半径的圆上时,四边形DGFE是菱形,理由如下:
如图1﹣2,连接AO,
当点O在以A为圆心,BC为半径的圆上时,AO=BC,
∵D是AB的中点,G是OB的中点,
∴DG=AO,
同理,EF=AO,
∴DG=EF=AO,
∵AO=BC,且由(1)知GF=DE=BC,
∴DG=GF=EF=DE,
∴四边形DGEF为菱形;
(3)解:如图2,点O即为所求,作法如下:
①在线段BC上取点Q,以A为圆心,AQ的长为半径画弧,交线段BC于点N;
②分别以Q,N为圆心,大于QN长度为半径画弧,两弧交于点M;
③连接AM,在AM上截取AO,使AO=BC.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,,E,M为线段AC上两个不重合的动点(点E在点M上方,且均不与端点重合),,与BC交于点F,四边形EMNF为平行四边形,连结BN.
(1)求直线AC与直线BC的解析式;
(2)若设点F的横坐标为x,点M的纵坐标为y,当四边形EMNF为菱形时,请求y关于x的函数解析式及相应x的取值范围;
(3)请求出当为等腰三角形时,面积的最大值.
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【题目】如图1,△ABC(AC<BC<AC)绕点C顺时针旋转得△DEC,射线AB交射线DE于点F.
(1)∠AFD与∠BCE的关系是 ;
(2)如图2,当旋转角为60°时,点D,点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上,延长DO至点G,使OG=OD,连接GC.
①∠AFD与∠GCD的关系是 ,请说明理由;
②如图3,连接AE,BE,若∠ACB=45°,CE=4,求线段AE的长度.
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【题目】如图,半径为2的⊙O分别与x轴,y轴交于A,D两点,⊙O上两个动点B,C,使∠BAC=60°恒成立,设△ABC的重心为G,则DG的最小值是_______.
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【题目】定义:按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点,若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似,则称它为原图形的螺旋相似图形.例如:如图1,分别延长多边形A1A2…An的边得A1′,A2′,…,An′,若多边形A1′A2′…An′与多边形A1A2…An相似,则多边形A1′A2′…An′就是A1A2…An的螺旋相似图形.
(1)如图2,已知△ABC是等边三角形,作出△ABC的一个螺旋相似图形,简述作法,并给以证明.
(2)如图3,已知矩形ABCD,请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形,若存在,求出此时AB与BC的比值;若不存在,说明理由.
(3)如图4,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,分别延长CA,AB,BC至A′,B′,C′,使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形.若AA′=kAC,请直接写出BB′,CC′的长(用含k的代数式表示)
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【题目】某生物小组观察一植物生长,得到的植物高度(单位:厘米)与观察时间(单位:天)的关系,并画出如下图所示的图象(是线段,直线平行于轴).下列说法错误的是( )
A.从开始观察时起,50天后该植物停止长高;
B.直线的函数表达式为;
C.第40天,该植物的高度为14厘米;
D.该植物最高为15厘米.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点,,均在格点上.
(Ⅰ)的长等于________________;
(Ⅱ)在如图所示的网格中,将绕点A旋转,使得点B的对应点落在边上,得到,请用无刻度的直尺,画出,并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的(不要求证明).
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