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19.如图,已知在正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,CA上,且CD=AE,AD与BE交于点P,BQ⊥AD于点Q
(1)证明:∠CAD=∠EBA;
(2)求$\frac{QB}{PB}$的比值.

分析 (1)根据三角形ABC为等边三角形,得到三条边和三个角相等,又根据CD=AE,利用SAS的方法得到△ACD与△ABE,根据全等三角形的对应角相等得到∠CAD等于∠EAB,
(2)又∠CAD加∠DAB等于60°,所以利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和,得到∠BPQ等于60°,又BQ与AD垂直,根据特殊角的三角函数即可求出所求的比值.

解答 证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,∠C=∠CAB=60°,
在△ADC和△BEA中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠CAB}\\{CD=AE}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△EBA(SAS),
∴∠CAD=∠EBA;
(2)由(1)得∠CAD=∠EBA,
又∠CAD+∠DAB=60°,
∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°,
又BQ⊥AD,
∴△BPQ是直角三角形,
∴$\frac{QB}{PB}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评 此题考查了等边三角形的性质及全等的证明方法,考查了三角形的外角定理及特殊角的三角函数值,属于常考题型.

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