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我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y=
1x
的图象分别交于第一、三象限的点B、D,已知点A(-m,0)、C(m,0).
(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是
平行四边形
平行四边形

(2)当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,直接写出p、α、和m的值;
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由.
分析:(1)由于反比例函数的图象是一个中心对称图形,点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,所以点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得出四边形ABCD的形状;
(2)把点B(p,1)代入y=
1
x
,即可求出p的值;过B作BE⊥x轴于E,在Rt△BOE中,根据正切函数的定义求出tanα的值,得出α的度数;要求m的值,首先解Rt△BOE,得出OB的长度,然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD,从而求出m的值
(3)假设四边形ABCD为菱形,根据菱形的对角线垂直且互相平分,可知AC⊥BD,且AC与BD互相平分,又AC在x轴上,所以BD应在y轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,所以四边形ABCD不可能为菱形.
解答:解:(1)∵反比例函数的图象是一个中心对称图形,点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
所以点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,
∴四边形ABCD是平行四边形;

(2)∵点B(p,1)在y=
1
x
的图象的图象上,
∴p=1,
过B作BE⊥x轴于E,则
在Rt△BOE中,
α=45°,
∴OB=
2

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
∴点B、D关于原点O成中心对称,
∴OB=OD=
2

∵四边形ABCD为矩形,且A(-m,0),C(m,0)
∴OA=OB=OC=OD=
2

∴m=
2


(3)四边形ABCD不能是菱形.理由如下:
若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分,
因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0),
所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上,
所以BD应在y轴上,
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,
所以四边形ABCD不可能为菱形.
故答案为:平行四边形.
点评:本题主要考查了平行四边形的判定,矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识,综合性较强,难度适中.
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3
x
的图象分别交于第一、三象限的点B,D,已知点A(-m,O)、C(m,0).
(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是
 

(2)①当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p,α,和m的值;
②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由.

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(2)①当点B坐标为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p、和m的值;
②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标;若不能,说明理由。

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(1)判断并填写,不论取何值,四边形ABCD的形状一定是______;

(2)①当点B坐标为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p、和m的值;

②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)

(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标;若不能,说明理由。

 

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②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)
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