Question

如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．
（1）求证：BD=DC；
（2）请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CDB=∠CAB+∠CAD；
∴∠DAE=∠DCB；
又∵AD是角平分线，
∴∠DAE=∠DAC=∠DBC=∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC=DB；

（2）解：若F为BC中点，则DF经过圆心；
∵△DBC是等腰三角形，
∴DF是底边中线；
∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，
∴DF必过圆心．
分析：（1）先有圆周角定理得出∠DAE=∠DCB，再有角平分线的性质可得出∠EAD=∠DAC，判断出△DCB是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质及圆内接四边形的性质可知若F为BC中点，则DF经过圆心．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理、等腰三角形的判定及性质，能根据圆周角定理得出△DCB是等腰三角形是解答此题的关键．