Question

如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若AD=AB，BD=5，CD=6，CE=7，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠2；
（2）解：∵AD=AB，
∴∠B=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CBA∽△CED，
∴，
设AE=x，
∴，
∴x=，
即AE=．
分析：（1）由题目给出的条件易证明△ADE∽△ACD，由相似三角形的性质：对应角相等得到∠AED=∠ADC进而证明：∠1=∠2；
（2）由已知条件证明△CBA∽△CED，设AE=x，利用对应边的比值相等即可求出x的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的难度中等．