Question

7．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$．其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 作BF⊥AE于F，如图，先利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则可根据“SAS”证明△APD≌△AEB，则可对①进行判断；再判断△AEP为等腰直角三角形，得到∠4=∠5=45°，则∠APD=135°，根据全等三角形的性质得∠AEB=∠APD=135°，于是可计算出∠PEB=135°-∠4=90°，所以BE⊥ED，则可对③进行判断；在Rt△PED中，利用勾股定理计算出BE=$\sqrt{3}$，然后判断△BEF为等腰直角三角形得到BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则可对②进行判断；由于△APD≌△AEB，则S_△APD=S_△AEB，然后利用S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_{四边形AEBP}=S_△AEP+S_△PBE可对④进行判断．

解答 解：作BF⊥AE于F，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，即∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△APD和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AP}\\{∠1=∠3}\\{AP=AE}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB，所以①正确；
∵AE=AP，∠PAE=90°，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴∠4=∠5=45°，
∴∠APD=135°，
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB=∠APD=135°，
∴∠PEB=135°-∠4=90°，
∴BE⊥ED，所以③正确；
在Rt△PED中，BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BEF中，∵∠BEF=180°-∠AEB=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以②错误；
∵△APD≌△AEB，
∴S_△APD=S_△AEB，
∴S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_{四边形AEBP}=S_△AEP+S_△PBE=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；会应用面积的和差计算不规则图形的面积．