Question

8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DF⊥AC于F，过C作CE∥AB交DF的延长线于点E，则下列结论中错误的是（　　）

• A． DE²=BD•AB
• B． S_△CEF：S_△ADF=BD²：AD²
• C． $\frac{BD}{CA}$=$\frac{CF}{AD}$
• D． $\frac{DF}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$

Answer 1

分析 A、正确．利用勾股定理，等量代换即可解决问题．
B、正确．只要证明△EFC∽△DFA即可．
C、正确．．由△CEF∽△ACD得$\frac{EC}{AD}$=$\frac{CF}{AD}$，由EC=BD即可证明．
D、错误．．由DF∥BC，得$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$即可判断．

解答 解：A、正确．∵∠ACB=∠AFD=90°，
∴DE∥BC，∵CE∥AB，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∴EC=BD，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥EC，
∴DE²=EC²+CD²=BD²+CD²，
∵CD²=AD•DB，
∴DE²=BD²+AD•BD=BD•（BD+AD）=BD•AB，故A正确．
B、正确．∵EC∥AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△AFD}}$=（$\frac{EC}{AB}$）²=$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}}$，故B正确．
C、正确．∵△CEF∽△ACD，
∴$\frac{EC}{AD}$=$\frac{CF}{AD}$，∵EC=BD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{CF}{AC}$，故C正确．
D错误．∵DF∥BC，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，故D错误．
故选D．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，综合性比较强，属于中考常考题型．