Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)直线AB的解析式是；（2）DP=,点D的坐标为（，）；
存在，点P的坐标分别为P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）

试题分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解.
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标.
（3）分三种情况进行讨论：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时；②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时；即＜t≤0时
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时.
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
试题解析：
（1）如答图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.

由已知得：BF=OE=2，∴.
∴点B的坐标是（，2）.
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有
，解得.
∴直线AB的解析式是.
（2）∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD，∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.∴△ADP是等边三角形.
∴.
如答图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH.

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=．DG=BD•sin60°=.
∴OH=EG=，DH=.
∴点D的坐标为（，）.
（3）存在.
假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于.
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如答图2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t.
∵△OPD的面积等于，∴，
解得（舍去）.
∴点P₁的坐标为（，0）.
②∵当D在x轴上时，如答图3，

根据锐角三角函数求出BD=OP=，
∴当＜t≤0时，如答图1，BD=OP=﹣t，DG=t，
∴GH=BF=2﹣（t）=2+t.
∵△OPD的面积等于，∴，解得.
∴点P₂的坐标为（，0），点P₃的坐标为（，0）.
③当t≤时，如答图4，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴DH=t﹣2.
∵△OPD的面积等于，
∴，解得（舍去）.
∴点P₄的坐标为（，0）.
综上所述，点P的坐标分别为P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）.