Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，则点M₁的坐标是________，点M₅的坐标是________；若把点M_n（x_n，y_n）（n是自然数）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的绝对坐标，则点M_8n+3的绝对坐标是________（用含n的代数式表示）．

Answer 1

（1，1）    （-4，-4）    （2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）
分析：由于线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M₁M₀⊥OM₀，所以△OM₀M₁是等腰直角三角形，而点M₀的坐标为（1，0），得到点M₁的坐标为（1，1），根据等腰直角三角形的性质得
OM₁=OM₀=，同理得到OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，则可确定点M₅的坐标，按此规律得到OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，由于从M₀开始，每8个点循环的落在坐标轴和四个象限内，则可得到点M_8n+2与点M2的位置一样，都在y轴的正半轴上，于是得到点M_8n+3的绝对坐标是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
解答：∵点M₀的坐标为（1，0），线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M₁M₀⊥OM₀，
∴△OM₀M₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=OM₀=，点M₁的坐标为（1，1），
同理可得OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，
∴点M₅的坐标是（-4，-4）；
∴OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，
∵点M_8n+2在y轴的正半轴上，
∴点M_8n+3的绝对坐标是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
故答案为（1，1）；（-4，-4）；（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转：在直角坐标系中利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据各象限点的坐标特征确定点的坐标．也考查了规律型问题的解决方法和等腰直角三角形的判定与性质．