Question

17．如图，二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-4，0）．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；
（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；
（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；
（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．

解答 解：（1）∵A（-4，0）在二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的图象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数解析式为：$y=\frac{1}{2}x+2$；

（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=$\frac{1}{2}$（m+4）×（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2+2）×（-m），
化简，得S=-m²-4m+4（-4＜m＜0）；

（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，
∴|y_E|=|y_C|=2，
∴y_E=±2．
当y_E=2时，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2得，
x₁=0，x₂=-3，
∴点E的坐标为（-3，2）；
当y_E=-2时，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=-2得，
x₁=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，
∴点E的坐标为（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；

②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，
∴y_E=y_C=2，
∴点E的坐标为（-3，2）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（-3，2）、（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）、（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求出直线及抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程、平行四边形的性质、抛物线的性质等知识的综合应用，运用割补法及配方法是解决问题的关键，解题时注意运用分类讨论的思想．