如图.操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上.取线段AE的中点M．探究:线段MD.MF的关系.并加以证明．说明:(1)如果你经历反复探索.没有找到解决问题的方法.请你把探索过程中的某种思路写出来,的过程后.可以从下列①.②.③中选取一个补充或更换已知条件.完成你的证明．注意:选取①完成证明得10分,选取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2005•大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

【答案】分析：根据观察它们的关系可能是MD=MF，MD⊥MF．证明思路：可以通过构建三角形来证明．延长DM交CE于点N，连接FD、FN．根据等腰直角三角形的性质，我们可以通过证明三角形DFN为等腰直角三角形，M为其斜边的中点来实现．那么我们要证明三角形DFN是个等腰直角三角形，且DM=MN．即要证明DF=FN，DM=MN，∠DFN=90度．如果要证明DM=MN，那么可通过证明三角形ADM和MNE全等来实现．由于AD∥BE，那么∠1=∠2，M为AE中点，AM=ME，对顶角∠3=∠4，根据ASA可得出△ADM≌△ENM，那么可得出MN=DM，AD=NE．下一步证明△DCF和△FNE全等即可．现在可得出的两个三角形中相等的条件是：AD=DC=NE，CF=EF（同为正方形CGEF的边），只要证明出∠DCF=∠FEN即可．我们发现CE时正方形CGEF的对角线，那么∠FCE=∠FEC=45°，DC⊥CE，那么∠DCF=90°-∠FCE=45°=∠FEC，这样根据CD=NE，CF=EF，∠DCF=∠FEN可根据SAS得出△DCF和△FNE全等那么DF=FN，∠5=∠6，∠6+∠CFN=∠CFE=90°，那么∠5+∠CFN也应该是90°，又由上面证得的DM=MN，那么我们可得出DFN是个等腰直角三角形，且M是斜边DN的中点，因此可得出MD=MF，MD⊥MF．
附加题：证明思路同上，只不过辅助线的作法略有不同，本题过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．还是通过证明DFN是个等腰直角三角形且M是DN的中点来实现．
解答：证明：关系是：MD=MF，MD⊥MF
如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN

∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2
又∵AM=EM，∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN，MD=MN
∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°
又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°
又∵DM=MN=

DN，
∴M为DN的中点，
∴FM=

DN，
∴MD=MF，DM⊥MF
思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC
思路二：
延长DM交CE于N，∵四边形ABCD、CGEF是正方形
∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM
思路三：∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形ABCD，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°
选取条件①
证明：如图
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM
∴MD=MN
又∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵正方形CGEF，
∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6，
∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF，MD⊥MF
选取条件②
证明：如图，
延长DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵FC=FE，
∴FD=FN
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
选取条件③
证明：如图，
延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴AD=EN，MD=MN．
∵CF=2AD，EF=2EN
∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，
∴MD=MF，MD⊥MF

附加题：
证明：如图
过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN
则∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△ADM≌△ENM
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE

∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°
∴∠DFN=90°．
∴DM=FM，DM⊥FM．
点评：本题考查的全等三角形的判定和正方形的性质的综合运用，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在．

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