【题目】在正方形ABCD中,以CD为底边在正方形外侧作等腰△CDE,连接BE与对角线AC交于点P、与CD交于点H,连接PD.
(1)如图1,当∠DEC=60°时,求证:PA=PE;
(2)如图2,当∠DEC=90°时,
①求tan∠EBC的值;②求的值.
【答案】(1)见解析;(2)①tan∠EBC= ;② .
【解析】
(1)通过计算证明∠ADP=∠EDP=75°,证明△ADP≌△EDP即可.
(2)①如图2﹣1中,过点E作EF⊥BC的延长线于F,设CF=a.想办法求出EF,BF即可解决问题.
②方法一:如图2﹣1中延长DP交BC于点Q,先推证P为BE的中点,得PE=,利用相似三角形的性质解决问题即可.
方法二:如图2﹣2中,作EG⊥CD于G,设GH=x,利用相似三角形的性质求解即可.
(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是正方形.
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP,
∵AP=AP,
∴△ABP≌△ADP(SAS)
∴∠APD=∠APB.
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠CEB.
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°,
∴∠CBE=15°.
∵∠ACB=45°,
∴∠APB=∠ACB+∠CBE=60°.
∴∠APD=60°,
∴ADP=180°﹣45°﹣60°=75°,
∵∠ADE=90°+60°=150°,
∴∠ADP=∠EDP=75°,
∵DA=DE,DP=DP,
∴△ADP≌△EDP(SAS),
∴PA=PE.
(2)①如图2﹣1中,过点E作EF⊥BC的延长线于F,设CF=a.
∵ED=EC,∠DEC=90°,
∴∠DCE=45°,
∵∠DCF=∠EFC=90°,
∴∠ECF=∠CEF=45°,
∴EF=CF=a,EC=a,BC=CD=2a,
∴BF=3a,
在Rt△BEF中,tan∠EBC=.
②方法一:如图2﹣1中延长DP交BC于点Q,先推证P为BE的中点,得PE=,
由得CH=,又CH=CQ,
∴
由△CQP∽△APD得,
∴PA=,
∴.
方法二:如图2﹣2中,作EG⊥CD于G,设GH=x,
由GE‖BC得△EGH∽△BCH,得CH=2GH=2x,
∴BC=3CH=6x
由PC‖DE得△PCH∽△EDH,得,
又DE=CG=3x,DE=3x,
∴PC=
又AC=6x,
∴PA=,PE=,
则.
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【题目】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,使点D恰好落在BC边上的F点处.已知折痕AE=10,且CE:CF=4:3,那么该矩形的周长为( )
A.48B.64C.92D.96
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【题目】如图,∠CAB=∠ABD=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.连接MB,NA.
(1)求证:四边形MBNA为平行四边形;
(2)当α=____°时,四边形MBNA为矩形;
(3)当α=_____°时,四边形MBNA为菱形;
(4)四边形MBNA可能是正方形吗?_____(回答“可能”或“不可能”)
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【题目】如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
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【题目】按《航空障碍灯(MH/T6012﹣1999)》的要求,为保障飞机夜间飞行的安全,在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯(AviationObstructionlight).中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光.在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式,灯的亮暗呈规律性交替变化,那么在一个连续的10秒内,该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达__秒.
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【题目】为了让市民享受到更多的优惠,某市针对乘坐地铁的人群进行了调查.
(1)为获得乘坐地铁人群的月均花费信息,下列调查方式中比较合理的是 ;
A.对某小区的住户进行问卷调查
B.对某班的全体同学进行问卷调查
C.在市里的不同地铁站,对进出地铁的人进行问卷调查
(2)调查小组随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费(单位:元),绘制了频数分布直方图,如图所示.
① 根据图中信息,估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 元;
A.20—60 B.60—120 C.120—180
②为了让市民享受到更多的优惠,相关部门拟确定一个折扣线,计划使30%左右的人获得折扣优惠.根据图中信息,乘坐地铁的月均花费达到 元的人可以享受折扣.
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【题目】今年5月份,十八中九年级学生参加了中考体育模拟考试,为了了解该校九年级(1)班同学的中考体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图,根据图表中的信息解答下列问题:
分组 | 分数段(分)) | 频数 |
A | 26≤x<31 | 2 |
B | 31≤x<36 | 5 |
C | 36≤x<41 | 15 |
D | 41≤x<46 | m |
E | 46≤x<51 | 10 |
(1)求全班学生人数和m的值.
(2)求扇形统计图中的E对应的扇形圆心角的度数;
(3)该班中考体育成绩满分共有3人,其中男生2人,女生1人,现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流,请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点O是AB边上一点,以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E,与AC边相切于D点,连接OC交⊙O于点F.
(1)连接DE,求证:OC∥DE;
(2)若⊙O的半径为3.
①连接DF,若四边形OEDF为菱形,弧BD的长为_____(结果保留π)
②若AE=2,则AD的长为_____.
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