Question

4．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？

Answer 1

分析 （1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8-x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．

解答 解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8-x）米，
∴S=x（8-x）=-x²+8x，其中0＜x＜8；

（2）能，
∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），
即-x²+8x=12，
解得：x=2或x=6，
∴设计费能达到24000元．

（3）∵S=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∴当x=4时，S_最大值=16，
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．

点评 本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．