Question

4．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将PB绕B点逆时针旋转60度得到BM，连结MP、MC．
（1）观察并猜想AP，CM的大小，并说明理由．
（2）若PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，判断△CPM的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质找出BP=BM；
（2）利用勾股定理的逆定理验证三边关系得出结论即可．

解答 解：（1）AP=CM，理由如下：
∵将PB绕B点逆时针旋转60度得到BM，
∴∠PBM=60°，BP=BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠MBC=∠ABP，
在△ABP与△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBM}\\{PB=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCM，
∴AP=CM；

（2）∵PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，
∵CP=4，CM=2，PM=PB=2$\sqrt{3}$
∴CP²=16，CM²=4，PM²=12，
4+8=12≠16，
即CM²+PM²=CP²；
∴△CPM是直角三角形，

点评 此题考查旋转的性质，等边三角形的判定以及勾股定理的逆定理等知识点．