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25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上,顶点G在对角线AC,并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转,旋转角为а.
(1)如图②,当а=90°时,请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系;
(2)如图③,当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明.若发生改变,请举例说明;
(3)如图④,将图①、图③中的两个正方形都改为矩形,其他条件不变,设AB=kAD(k>0),当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明.若发生改变,请写出改变后的新结论,并给出证明.
分析:(1)此题可通过全等三角形来求解;首先证△AED≌△AFB,然后根据全等三角形得到的等角和等边来进行判断.
(2)思路同(1),依然是根据△AED≌△AFB来得到所求的结论.
(3)此题要通过相似三角形来解,首先根据已知条件,易证得AE、AF与AD、AB对应成比例,而∠DAE=∠FAB,即可证得△AED∽△AFB,由此得DE、BF的比例关系,在求它们的位置关系时,可参照(2)的解法.
解答:解:(1)DE=BF,DE⊥BF;理由如下:
∵四边形AFGE、四边形ABCD都是正方形,
∴AE=AF,AD=AB,∠DAE=∠BAF=90°,
∴△AED≌△AFB,得DE=BF,∠DEA=∠AFB;
由于∠ABF、∠AFB互余,因此∠ABF、∠DEA互余,即∠DEA+∠ABF=90°,故DE⊥BF;
因此DE、BF的数量关系为相等,位置关系为垂直.

(2)不改变;
证明:如图(3),连接DE,BF,BD;
同(1)可得:AE=AF,AD=AB,∠DAE=∠BAF(旋转角),
∴△AED≌△AFB,得DE=BF,∠EDA=∠FBA;
由于∠EDA+∠ADB+∠DBF=∠ABF+∠ADB+∠DBF=90°,即∠EDB+∠DBF=90°,
故DE⊥BF,所以(1)的结论依然成立.

(3)BF=kDE,DE⊥BF;理由如下:
∵AB:AD=AF:AE=k,且∠DAE=∠BAF,
∴△ADE∽△ABF,且相似比为1:k,
故BF=kDE,∠EDA=∠FBA;
同(2)可证得DE⊥BF;
故BF、DE的数量关系为:BF=kDE,位置关系为:垂直.
点评:此题主要考查的是全等三角形及相似三角形的判定和性质,还涉及到正方形、矩形的性质,考查了学生对知识的综合应用能力.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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(1)如图②,当а=90°时,请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系;
(2)如图③,当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明;若发生改变,请举例说明;
(3)如图④,将图①、图③中的两个正方形都改为矩形,其他条件不变,设AB=kAD(k>0),当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明;若发生改变,请写出改变后的新结论,并给出证明.

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科目:初中数学 来源:福建省期中题 题型:解答题

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(2)如图③,当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明。若发生改变,请举例说明;
(3)如图④,将图①、图③中的两个正方形都改为矩形,其他条件不变,设AB=kAD(k>0),当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明。若发生改变,请写出改变后的新结论,并给出证明。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

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(3)如图④,将图①、图③中的两个正方形都改为矩形,其他条件不变,设AB=kAD(k>0),当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明;若发生改变,请写出改变后的新结论,并给出证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:

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顶点A沿逆时针方向旋转,旋转角为а。(1)如图②,当а=90°时,请直接写出线段DE与BF的数量关

系和位置关系;(2)如图③,当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明。若发

生改变,请举例说明;(3)如图④,将图①、图③中的两个正方形都改为矩形,其他条件不变,设AB=kAD(k>0),

当0°<а<90°时,(1)中的结论是否发生改变?若不变,请给出证明。若发生改变,

请写出改变后的新结论,并给出证明。

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