Question

几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，
由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是

 

；
（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）

Answer 1

分析：（1）由于点B与D关于AC对称，所以连接DE，与AC的交点即为P点．此时PB+PE=DE最小，而DE是直角△ADB的斜边，由勾股定理可求出结果；
（2）设点P关于OA、OB对称点分别为M、N，当点R、Q在MN上时，△PQR周长为PR+RQ+QP=MN，此时周长最小．

解答：解：（1）连接DE，与交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴DP=BP，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵在直角△ADE中，∠DAE=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=

5

．

（2）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

=10

2

．
即△PQR周长的最小值等于10

2

．

点评：灵活运用对称性解决最短距离问题．