Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于F，DG⊥AC于G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若AE=7，BC=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADO，等量代换得到∠CAD=∠ADO，根据平行线的判定和性质得到DG⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BE，根据垂径定理得到OD⊥BE，BH=EH，根据三角形的中位线的性质得到OH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{7}{2}$，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵DG⊥AC，
∴DG⊥OD，
∴DG是⊙O的切线；

（2）解：连接BE，
∵∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥BE，BH=EH，
∵AO=OB，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{7}{2}$，
∵BC=6，
∴BD=3，
∵BD²-DH²=BH²，OB²-OH²=BH²，
∴3²-（OD-$\frac{7}{2}$）²=OD²-（$\frac{7}{2}$）²，
∴OD=$\frac{9}{2}$（负值舍去），
∴AB=2OD=9．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．