Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若△CEF与△ABC相似，当AC=BC=2时，求AD的长；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②当AC=3，BC=4时，分两种情况：
a．若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；
b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．

解答 解：（1）若△CEF与△ABC相似．当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如图1所示．
此时D为AB边中点，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．