Question

17．解下列方程
①x²-3x-1=0（配方法）
②$\frac{2}{7}$x²+x-$\frac{4}{7}$=0（因式分解法）
③-3x²+4x+5=0（公式法）
④$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$\frac{5}{2}$（换元法）

Answer 1

分析 ①移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
②去分母，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
③先求出b²-4ac的值，再代入公式求出即可；
④设$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=y，则原方程化为y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，求出方程的解，即可求出答案．

解答 解：①x²-3x-1=0，
x²-3x=1，
x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²=1+（$\frac{3}{2}$）²，
（x-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{13}{4}$，
x-$\frac{3}{2}$=±$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
x₁=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；

②$\frac{2}{7}$x²+x-$\frac{4}{7}$=0，
2x²+7x-4=0，
（2x-1）（x+4）=0，
2x-1=0，x+4=0，
x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-4；

③-3x²+4x+5=0，
b²-4ac=4²-4×（-3）×5=76，
x=$\frac{-4±\sqrt{76}}{2×（-3）}$，
x₁=$\frac{2-\sqrt{19}}{3}$，x₂=$\frac{2+\sqrt{19}}{3}$；

④$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$\frac{5}{2}$，
设$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=y，则原方程化为：y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，
即2y²-5y+2=0，
解得：y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=2，
当y=$\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
解得：x₁=x₂=1，
当y=2时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=2，
x²-x=2=0，
此方程无解；
经检验x₁=x₂=1是原方程的解，
所以原方程组的解为：x₁=x₂=1．

点评 本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解①②③得关键，能正确换元是解④的关键．