Question

如图，在△ABC中，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质推出即可；
（2）根据相似三角形的性质求出y=4-

4

5

x，求出矩形的面积，求出二次函数的最值即可．

解答：（1）证明：∵四边EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AH

AD

=

EF

BC

（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）；

（2）解：设矩形EFPQ的另一边长为y，则HD=y，
由（1）得

4-y

4

=

x

5

，
解之得：y=4-

4x

5

于是矩形EFPQ的面积为：
S=xy
=x(4-

4x

5

)
=-

4

5

x2+4x
=-

4

5

(x2-5x)
=-

4

5

(x2-5x+

25

4

)+5
=-

4

5

(x-

5

2

)2+5，
故当x=

5

2

时，矩形EFPQ的面积最大，最大值是5．

点评：本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．