Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C（0，﹣x2），且x1＜0＜x2， ，△ABC的面积为6.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，使四边形ABMC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标和四边形ABMC的面积最大值；若不存在，请说明理由；

（3）E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3（2）（3）D1 （4，5），D2 （-2，5），D3 （2，-3）

【解析】

（1）根据题意求出A，B，C点的坐标，并将其代入y=ax2+bx+c即可求出解析式；

（2）当点M在x轴下方的抛物线上时，连接OM，CM，BM，设点M（a，a2-2a-3），则S四边形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM，用含a的代数式表示出S的值，利用函数的思想即可求出其最大值，进一步写出点M的坐标；

（3）分类讨论存在平行四边形的情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点D坐标．

（1）由题意得，

∵S△ABC＝6，

∴

∴x12=1

∵x1＜0＜x2，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

抛物线为y＝ax2+bx+c的图像经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∴

解得：

∴抛物线的解析式为：

（2）如图1，当点M在x轴下方的抛物线上时，连接OM，CM，BM，

设点M（a，a2-2a-3），

则S四边形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM

=×1×3+×3a+×3（-a2+2a+3）

=-（a-）2+，

由二次函数的性质可知，当a=时，S有最大值，S最大=，

∴M（，-），四边形ABMC的面积最大值为；

（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴对称轴为直线x=1，

如图2-1，当四边形ECBD为平行四边形时，DE∥BC，DE=BC，

∴xD-xE=xB-xC=3，

∵xE=1，

∴xD=4，

∴D（4，5）；

如图2-2，当四边形DCBE为平行四边形时，DE∥BC，DE=BC，

∴xE-xD=xB-xC=3，

∵xE=1，

∴xD=-2，

∴D（-2，5）；

如图2-3，当四边形ECDB为平行四边形时，BE∥DC，BE=DC，

∴xE+xD=xB+xC=3，

∵xE=1，

∴xD=2，

∴D（2，-3）；

综上所述点D坐标为（4，5），（-2，5）或（2，-3）．