【题目】如图,O为Rt△ABC的直角边AC上一点,以OC为半径的圆与斜边AB相切于点D,P是弧CD上任意一点,过点P作⊙O的切线,交BC于点M,交AB于点N,已知AB=5,AC=4.
(1)△BMN的周长等于多少;
(2)⊙O的半径.
【答案】(1)△BMN的周长为6,(2)⊙O的半径为1.5.
【解析】
(1)由勾股定理可求得是BC,再证得BC为圆的切线,则可求得BC和BD的长,由切线长定理可求得PM=CM、PN=ND,则可求得答案;
(2)连接OD,设半径为r,则AO=4-r,AD=2,在Rt△AOD中,由勾股定理可列方程,可求得r.
(1)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,
∴BC=3,
∵AC⊥BC,
∴BC为⊙O的切线,
∵AB为⊙O的切线,
∴BD=BC=3,
∵MN为⊙O的切线,
∴PM=CM,PN=DN,
∴BM+BN+MN=BM+PM+BN+PN=BM+MC+BN+ND=BC+BD=3+3=6,
即△BMN的周长为6,
故答案为:6;
(2)如图,连接OD,
∵AB为⊙O的切线,
∴OD⊥AB,
设半径为r,则AO=AC﹣r=4﹣r,AD=AB﹣BD=5﹣3=2,
在Rt△AOD中,由勾股定理可得r2+22=(4﹣r)2,解得r=1.5,
∴⊙O的半径为1.5.
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【题目】观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,过A作AD⊥BC于D(如图(1)),则sinB=,sinC=
,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即
,同理有:
,
,所以
.
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.
根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,则∠A= ;AC= ;
(2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来,我国政府灵活应对,现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某次巡逻中,如图(3),我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上,求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB.(结果精确到0.01,≈2.449)
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【题目】如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=4,P为线段AB上一动点.将△BPC沿PC翻折至△EPC,延长CE交射线AD于点D
(1)如图1,当P为AB的中点时,求出AD的长
(2)如图2,延长PE交AD于点F,连接CF,求证:∠PCF=45°
(3)如图3,∠MON=45°,在∠MON内部有一点Q,且OQ=8,过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点.设QG=x,QH=y,直接写出y关于x的函数解析式
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【题目】经市场调研发现:某品牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈利 40元.在每件降价幅度不超过 18 元的情况下,若每件童装降价 1 元,则每天可多售出 2 件,设降价 x 元.
(1)降价 x 元后,每件童装盈利是多少元,每天销售量是多少件;
(2)要想每天销售这种童装盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元?
(3)每天能盈利 1800 元吗?如果能,每件童装应降价多少元?如果不能,请说明理由.
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【题目】A,B,C三地在同一条公路上,A地在B,C两地之间,甲、乙两车同时从A地出发匀速行驶,甲车驶向C地,乙车先驶向B地,到达B地后,调头按原速经过A地驶向C地(调头时间忽略不计),到达C地停止行驶,甲车比乙车晚0.4小时到达C地,两车距B地的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是 km/h,并在图中括号内填入正确的数值;
(2)求图象中线段FM所表示的y与x的函数解析式(不需要写出自变量x的取值范围);
(3)在乙车到达C地之前,甲、乙两车出发后几小时与A地路程相等?直接写出答案.
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【题目】将边长为3cm的正三角形的各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,再顺次连接这个正六边形的各边中点,又形成一个新的正六边形,则这个新的正六边形的面积等于( )
A. cm2 B.
cm2 C.
cm2 D.
cm2
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【题目】已知⊙O的直径为10,点A,点B,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(Ⅰ)如图①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(Ⅱ)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.
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【题目】已知抛物线y=-x2+bx+c经过点B(-1,0)和点C(2,3).
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)如果此抛物线上下平移后过点(-2,-1),请直接写出平移的方向和平移的距离.
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【题目】某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房定价每提高10元,就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用,设每间客房的定价提高了x元.
(1)填表(不需化简)
入住的房间数量 | 房间价格 | 总维护费用 | |
提价前 | 60 | 200 | 60×20 |
提价后 |
|
|
|
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客,则每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入﹣维护费用)
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