Question

如图1，四边形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB=AB+AD，∠AEB=∠FAD．
（1）猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k为常数，且k＞0）”，其他条件不变（如图2），求的值（用含k、α的式子表示）．

Answer 1

解：（1）猜想：AE=AF．
证明：在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，
∵∠ABC=2∠ADC=2α，
∴∠AGB=∠GAB=∠ABC=α，
∴∠EGA=180°-α=180°-∠ADC=∠ADF，
∵EB=AB+AD，
∴EG=AD，
在△AEG和△FAD中，
，
∴△AEG≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；

（2）在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，
同理可得∠EGA=∠ADF，
∵∠AEG=∠FAD，
∴△AEG∽△FAD，
∴，
∵EB=AB+kAD，
作BH⊥AG于点H，
∴AH=AB•cosα，
即=AB•cosα，
∴=．
分析：（1）首先在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，易证得∠EGA=∠ADF，由EB=AB+AD，可证得BG=AD，继而由ASA证得△AEG≌△FAD，则可得AE=AF；
（2）首先在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，易证得△AEG∽△FAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，再作BH⊥AG于点H，即可求得的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．