Question

如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP₁，连结P₁C．
（1）判断△APB与△AP₁C是否全等，请说明理由；
（2）求∠APB的度数；
（3）求△APB 与△APC的面积之和；
（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．

Answer 1

分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质可得AP₁=AP，然后求出∠CAP₁=∠BAP，再利用“边角边”证明△APB与△AP₁C全等即可；
（2）连结PP₁，求出△PAP₁是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP₁=AP=3，∠AP₁P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP₁P=90°，然后计算即可得解；
（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP₁的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；
（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵线段AP以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP₁，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∠CAP₁+∠PAC=∠PAP₁=60°，
∴∠BAP=∠CAP₁，
∵在△APB与△AP₁C中，

AB=AC ∠BAP=∠CAP1 AP=AP1

，
∴△APB≌△AP₁C（SAS）；

（2）连结PP₁，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，
∴△PAP₁是等边三角形，
∴PP₁=AP=3，∠AP₁P=60°，
∵△APB≌△AP₁C，
∴CP₁=BP=4，
∵CP=5，
∴PP₁²+CP₁²=CP²，
∴△CP₁P是直角三角形，∠CP₁P=90°，
∴∠APB=∠AP₁P+∠CP₁P=60°+90°=150°；

（3）由（1）（2）可知，S_△APP1=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，
S_△PP1C=

1

2

×3×4=6，
∴S_{四边形APCP1}=S_△APP1+S_△PP1C=

9 3

4

+6；
∵△APB≌△AP₁C，
∴S_△ABP+S_△APC=S_{四边形APCP1}=

9 3

4

+6，
即△APB与△APC的面积之和为

9 3

4

+6；

（4）同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=

1

2

×4×

4 3

2

+

1

2

×3×4=4

3

+6，
△APC和△BPC的面积的和=

1

2

×5×

5 3

2

+

1

2

×3×4=

25 3

4

+6，
∴△ABC的面积=

1

2

（

9 3

4

+6+4

3

+6+

25 3

4

+6）=

25 3

4

+9，
∴△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和=

25 3

4

+9-（

9 3

4

+6）=

25 3

4

+9-

9 3

4

-6=4

3

+3．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，（4）较为复杂，求出△ABC的面积是解题的关键．