Question

（2012•义乌市模拟）已知抛物线y=-

1

2

x2+2x与直线y=kx都经过原点和点E(

8

3

，

16

9

)．
（1）k=

2

3

；
（2）如图，点P是直线y=kx（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足是点C，交抛物线于点B，过点B作x轴的平行线交直线y=kx于点D，连接OB；若以B、P、D为顶点的三角形与△OBC相似，则点P的坐标是

（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）

．

Answer 1

分析：（1）把点E的坐标代入直线解析式，计算即可求出k值；
（2）设点P的横坐标为x，根据直线解析式表示出点P，根据抛物线解析式表示出点B，根据两直线平行，内错角相等可得∠BDP=∠POC，然后根据∠BDP的正切值求出BP与BD的比值，根据点B的坐标求出∠BOC的正切值，再分①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵直线y=kx经过点E（

8

3

，

16

9

），
∴

8

3

k=

16

9

，
解得k=

2

3

；

（2）由（1）可知直线解析式为y=

2

3

x，
设点P的横坐标为x，则点P（x，

2

3

x），B（x，-

1

2

x²+2x），
∵BD∥x轴，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=

2

3

，
即

BP

BD

=

2

3

，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，
所以，

BC

OC

=

BP

BD

，
即

|- 1 2 x2+2x|

x

=

2

3

，
整理得，|x-4|=

4

3

，
所以，x-4=

4

3

或x-4=-

4

3

，
解得x=

16

3

或x=

8

3

，
当x=

16

3

时，y=

2

3

x=

2

3

×

16

3

=

32

9

，
当x=

8

3

时，y=

2

3

x=

2

3

×

8

3

=

16

9

，此时点B、P重合，△BPD不存在，
所以，点P（

16

3

，

32

9

）；
②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=

2

3

，
所以，

OC

BC

=

BP

BD

，
即

x

|- 1 2 x2+2x|

=

2

3

，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
当x=7时，y=

2

3

x=

2

3

×7=

14

3

，
当x=1时，y=

2

3

x=

2

3

×1=

2

3

，
所以，点P（7，

14

3

）或（1，

2

3

），
综上所述，点P的坐标是（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．
故答案为：（1）

2

3

；（2）（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及待定系数法求一次函数解析式，相似三角形对应边成比例，（2）要注意分情况讨论求解．