Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长和面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），菱形AECF的面积＝12．

【解析】

（1）根据正方形的性质和线段的加减可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定解答即可；
（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理即可求得边长AE、对角线EF，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．

（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．

∵BE＝DF，

∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

（2）∵AC＝4，

∴OA＝2，

∴OB＝2，

∴OE＝OB+BE＝3，

∴AE＝，

∴EF＝AC+DF+BE＝4+2＝6，

∴菱形AECF的面积＝ACEF＝×4×6＝12．

故菱形AECF的边长为，面积为12．