Question

10．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究发现】
（1）请你判断AM、AD、MC三条线段的数量关系，并说明理由
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，上述（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．

Answer 1

分析 （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．

解答 证明：证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
∴△ADE≌△NCE（AAS）
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．
证明：如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB，
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
∴△ABQ≌△ADE（AAS），
∴AB=AD．与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．