Question

(本小题满分9分)

如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．
⑴求线段AD所在直线的函数表达式．
⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

Answer 1

（1）
（2）t=2

解：⑴∵点A的坐标为(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA·tan60°=，
∴点D的坐标为（0，），  1分
设直线AD的函数表达式为，
，解得，
∴直线AD的函数表达式为.    3分
⑵∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，   5分
如图所示：

①点P在AD上与AC相切时，
AP1=2r=2，
∴t1="2."     6分
②点P在DC上与AC相切时，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2="6."     7分
③点P在BC上与AC相切时，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3="10.   " 8分
④点P在AB上与AC相切时，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切. 9分