Question

【题目】如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F．

（1）求证：∠BAF＝∠CBD；

（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；

（3）在（2）的条件下，当AF＝2时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2﹣．

【解析】

（1）利用已知条件分别求出∠BAF＝15°，∠CBD＝15°，即可证明∠BAF＝∠CBD；

（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，连接CO，∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，∠ACF＝90°，所以∠CFA＝45°，CA＝CF，CO⊥AF，由CG∥AE，所以CO⊥CG，因此CG是⊙O的切线；

（3）证明△DCG∽△ABC，然后利用相似比求的值．

解：（1）如图，连接CF．

∵AF为直径，

∴∠ACF＝90°，

∵∠ACB＝75°，

∴∠BCF＝90°﹣75°＝15°，

∴∠BAF＝15°，

∵△ABD为等边三角形，

∴∠D＝∠DAB＝∠DBA＝60°，

∴∠CBD＝∠ACB﹣∠D＝75°﹣60°＝15°，

∴∠BAF＝∠CBD；

（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，连接CO，

∵∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，

∠ACF＝90°，

∴∠CFA＝45°，

∴CA＝CF，

∴CO⊥AF，

∵CG∥AE，

∴CO⊥CG，

∴CG是⊙O的切线；

（3）作CH⊥AB于H，

∵AF＝，

∴AC＝CF＝AF＝2，

在△ACB中，

∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACH＝30°，∠HCB＝∠HBC＝45°，

∴AH＝AC＝1，CH＝，AH＝，BH＝CH＝，

∴AB＝AH+BH＝1+，

∴AD＝AB＝，CD＝AD﹣AC＝

∵CG∥AE，

∴∠DCG＝∠CAF＝45°，

在△DCG与△ABC中，

∠DCG＝∠ABC＝45°，∠D＝∠CAB＝60°，

∴△DCG∽△ABC，

∴，

∴的值为．