Question

20．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，以下两个结论：①AF=DE；②AF⊥DE都成立．试探究：
（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF时，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点时，求证：四边形MNPQ是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．
（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；
（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．

解答 （1）解：如图1，∵在△DEC和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AD}\\{∠ECD=∠ADC}\\{EC=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AFD（SAS）；
∴结论①、②都仍然成立；

（2）解：上述结论①，②仍然成立，
理由：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°                   
在△ADF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}DF=CE\\∠ADC=\\ AD=CD\end{array}\right.∠BCD=90°$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠EDC=∠DAF，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
即AF⊥DE；

（3）证明：如图3，

设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，
∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，
∴MQ、PN分别是△AED、△FED的中位线，
∴MQ=PN=$\frac{1}{2}$DE，MQ∥DE∥PN；
同理PQ=MN=$\frac{1}{2}$AF，PQ∥AF，
∴MQ∥PN，MQ=PN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵AF=DE，∴MQ=PQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠HQG=∠AOD=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

点评 此题主要考查了四边形综合、全等三角形的判定于性质、正方形的判定以及正方形的性质等知识，正确应用全等三角形的判定与性质是解题关键．