Question

关于x的方程kx2+(k+1)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；    
（2）是否存在实数k，使方程两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据x的方程kx2+(k+1)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，得出△=（k+1）²-4k×

k

4

＞0，即可得出答案；
（2）当方程两个实数根的倒数和等于0，得出

1

x1

+

1

x2

=0，进而得出k的值从而得出答案．

解答：解：（1）∵x的方程kx2+(k+1)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
∴△=（k+1）²-4k×

k

4

＞0，
∴2k+1＞0，
∴k＞-

1

2

，且k≠0；

（2）∵当方程两个实数根的倒数和等于0，
∴

1

x1

+

1

x2

=0，
∴

x1+x2

x1x2

=0，
∴x₁+x₂=0，
∵x₁+x₂=-

k+1

k

=0，
∴k=-1，
∵k＞-

1

2

，
∴不存在实数k，使方程两个实数根的倒数和等于0．

点评：此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系，以及注意二次项系数不能为0．