Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90度．
（1）如图1，若AC⊥BD，且AC=5，BD=3，则S_梯形ABCD=

 

；
（2）如图2，若DE⊥BC于E，BD=BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；
（3）在（2）的条件下，若AD=EC，

S△ABF

S△CEF

=

 

．

Answer 1

分析：（1）通过平移一腰可知道，梯形的面积可转化为直角三角形的面积，即S_梯形ABCD=

1

2

AC•BD=

15

2

；
（2）连接EF、BF，先证明四边形ABED是矩形，AD=BE，得到△ADF≌△BEF，FA=FB，∠FAB=∠ABF，利用BF⊥CD可证∠ABF=∠C即∠BAF=∠BCD．
（3）利用三角形相似的性质，面积比等于相似比的平方可求解．

解答：解：（1）S_梯形ABCD=

1

2

AC•BD=

15

2

；

证明：（2）∠BAF=∠BCD．
连接EF、BF，
∵DF=CF，∠DEC=90°，
∴EF=CF=

1

2

CD．
∴∠FEC=∠C．
又∠C+∠ADF=180°，
∠FEC+∠BEF=180°，
∴∠ADF=∠BEF．
∵∠BAD=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形．
∴AD=BE．
∴△ADF≌△BEF．
∴FA=FB．
∴∠FAB=∠ABF．
又BD=BC，DF=CF，
∴BF⊥CD．
∴∠BFD=∠BAD=90°．
∴∠ABF+∠ADF=180°．
∴∠ABF=∠C．
∴∠BAF=∠BCD．

（3）根据题意可知：△ABF∽△CEF，
∴EC：AB=EC：DE=1：

3

．
∴

S△ABF

S△CEF

=3．

点评：主要考查了全等三角形的判定和直角梯形的特殊性质．要掌握全等的判定方法和性质，用全等来证明相等的线段是常用的方法之一．