Question

如图，⊙O的半径为5cm，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求线段BC的长度．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，又∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠AOC，等量代换得到∠OCP=90°，证明PC是⊙O的切线．
（2）在直角△ABC中，由AC=PC，∠COB=2∠A，以及（1）的结论得到∠A=30°，然后求出线段BC的长度．

解答：（1）证明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥CP，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为5cm，AB是⊙O的直径，
∴AB=10cm，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵∠COB=2∠A，
∴∠COB=2∠P
又∵∠OCP=90°，
∴∠COB+∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴∠A=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴CB=

1

2

AB=5cm．

点评：本题考查的是切线的判定，（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及题目中所给出的角度的关系，可以得到∠OCP=90°，证明PC是⊙O的切线．（2）在直角三角形中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出线段BC的长．