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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为线段AC上一点,点Q在线段AB的延长线上,CP=BQ,连接PQBC于点D,点P关于BC的对称点为E,连接AE

1)依题意补全图1

2)求证:DPQ的中点;

3)用等式表示AEPQ的数量关系,并证明.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3,理由见解析

【解析】

1)根据题意画图即可;

2)连接EQ,过点DDFEQ,设PE及哦啊BC于点G,先证四边形CEQB是平行四边形,得到BCEQ,再求∠PEQ=90°得到四边形EGDF是矩形,根据对称证得DF=PE,得到DF是△PEQ的中位线,由此得到结论;

3)设AP=aPC=CE=b,利用勾股定理求出,即可得到结论.

1)如图:

2)连接EQ,过点DDFEQ,设PEBC于点G

AB=ACBAC=90°

∴∠ACB=ABC=45°

∵点P关于BC的对称点为E

∴∠BCE=ACB=ABC=45°PC=CE

CEAB

BQ=PC=CE

∴四边形CEQB是平行四边形,

BCEQ

∴∠CEQ=CBQ=180°-45°=135°

∵∠PCE=45°+45°=90°PC=CE

∴∠CEP=45°

∴∠PEQ=90°,即PEEQ

DFEQ

PEDF

∴四边形EGDF是平行四边形,

∵∠GEF=90°

∴四边形EGDF是矩形,

DF=EG,

由对称得PG=EG

DF=PE

DF是△PEQ的中位线,

∴点DPQ的中点;

3

AP=aPC=CE=b

RtACE中,,

RtPEQ中,

,

.

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答:              

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答:              

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