【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为线段AC上一点,点Q在线段AB的延长线上,CP=BQ,连接PQ交BC于点D,点P关于BC的对称点为E,连接AE.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:D是PQ的中点;
(3)用等式表示AE和PQ的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3),理由见解析
【解析】
(1)根据题意画图即可;
(2)连接EQ,过点D作DF⊥EQ,设PE及哦啊BC于点G,先证四边形CEQB是平行四边形,得到BC∥EQ,再求∠PEQ=90°得到四边形EGDF是矩形,根据对称证得DF=PE,得到DF是△PEQ的中位线,由此得到结论;
(3)设AP=a,PC=CE=b,利用勾股定理求出,,即可得到结论.
(1)如图:
(2)连接EQ,过点D作DF⊥EQ,设PE交BC于点G,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∵点P关于BC的对称点为E,
∴∠BCE=∠ACB=∠ABC=45°,PC=CE,
∴CE∥AB,
∵BQ=PC=CE,
∴四边形CEQB是平行四边形,
∴BC∥EQ,
∴∠CEQ=∠CBQ=180°-45°=135°,
∵∠PCE=45°+45°=90°,PC=CE,
∴∠CEP=45°,
∴∠PEQ=90°,即PE⊥EQ,
∵DF⊥EQ,
∴PE∥DF,
∴四边形EGDF是平行四边形,
∵∠GEF=90°,
∴四边形EGDF是矩形,
∴DF=EG,
由对称得PG=EG,
∴DF=PE,
∴DF是△PEQ的中位线,
∴点D是PQ的中点;
(3);
设AP=a,PC=CE=b,
在Rt△ACE中,,
∴;
在Rt△PEQ中,,
∵, ,
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,在中,,于点,,为了研究图中线段之间的关系,设,,
(1)可通过证明,得到关于的函数表达式__________,其中自变量的取值范围是___________;
(2)根据图中给出的(1)中函数图象上的点,画出该函数的图象;
(3)借助函数图象,回答下列问题:①的最小值是__________;②已知当时,的形状与大小唯一确定,借助函数图象给出的一个估计值(精确到0.1)或者借助计算给出的精确值.
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【题目】为了让学生了解环保知识,增强环保意识,红星中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:
(1)填充频率分布表中的空格;
(2)补全频率分布直方图;
(3)在该问题中的样本容量是多少?
答: .
(4)全体参赛学生中,竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多?(不要求说明理由)”
答: .
(5)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校成绩优秀的约为多少人?
答: .
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【题目】“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”为了选拔“阳光大课间”领操员,学校组织初中三个年级推选出来的名领操员进行比赛,成绩如下表:
成绩(分) | ||||
人数(人) |
(1)这组数据的众数是______,中位数是_______;
(2)已知获得分的选手中,七、八、九年级分别有人、人、人,学校准备从中随机抽取两人领操,求恰好抽到八年级两名领操员的概率.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【题目】某中学图书室计划购买了甲、乙两种故事书.若购买7本甲种故事书和4本乙种故事书需510元;购买3本甲种故事书和5本乙种故事书需350元.
(1)求甲种故事书和乙种故事书的单价;
(2)学校准备购买甲、乙两种故事书共200本,且甲种故事书的数量不少于乙种故事书的数量的,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( )
A.2+B.C.D.3
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【题目】央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题
(1)此次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图1补充完整;
(3)图2中“社科类”所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
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