Question

已知：如图1，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的动直线FM、GN分别从B、C两点同时出发，向直线AD所在位置平移，直到与AD重合为止．其中M、N为垂足，F、G是两直线分别与AB、AC的交点．设FM=x，且在平移过程中始终保持FM=GN．
（1）试用含x的代数式表示FG；
（2）若点E与点B关于FM成轴对称，点H与点C关于GN成轴对称，在运动过程，设点E、F、G、H围成的凸多边形的面积为S，试建立S关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，S的值为3？

Answer 1

分析：（1）由条件可以求证四边形EMNG是平行四边形，得到FM=DQ，利用△AFG∽△ABC根据相似三角形的性质表示出FG．
（2）通过作辅助线找到点E、H，连接EF、HG，就得到一个梯形，利用梯形的面积公式就可以表示出S与x的关系式．
（3）把x=3代入（2）的函数关系式，就可以求出相应的x的值．

解答：解：（1）∵∠B=45°，AD⊥BC
∴∠BAD=45°
∴∠B=∠BAD，FM=BM=x
∴AD=DB=3
∵BC=7，∴DC=4
∵FM⊥BC，GN⊥BC
∴FM∥GN
∵FM=GN
∴四边形FMNG是平行四边形，
∴FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴

AQ

AD

=

FG

BC

，
∴

3-x

3

=

FG

7

，
FG=

21-7x

3

；

（2）作出B点的对称点E，C点的对称点H，连接EF、GH．
ME=BN=x，HN=CN，
∵GN⊥BC，AD⊥BC，∴AD∥GN，∴△CGN∽△CAD，
∴

GN

AD

=

CN

DC

，
∴

x

3

=

CN

4

，
∴CN=

4

3

x，
∴HN=

4

3

x，
∴EH=7-2x-

8

3

x，
∴S=

(7-2x- 8 3 x+ 21-7x 3 )x

2

，
S=

14x-7x2

2

；

（3）当S=3时，
3=

14x-7x2

2

，
x1 =

7+ 7

7

，x2=

7- 7

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，梯形的面积公式．