Question

5．定义一种运算“为x▲y=x（x+y）-2“，有下列命题：
①方程x▲2=0的根为x₁=-1+$\sqrt{3}$，x₂=-1-$\sqrt{3}$；②不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（-2）▲x-4＜0}\\{1▲x-3＜0}\end{array}\right.$的解集为-1＜x＜4；③点（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）在函数y=x▲（-1）的图象上；④若x▲y=y▲x，则x=y，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 把方程x▲2=0化为x（x+2）-2=0，则解一元二次方程可对①进行判断；把不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（-2）▲x-4＜0}\\{1▲x-3＜0}\end{array}\right.$化为$\left\{\begin{array}{l}{-2（-2+x）-2-4＜0}\\{1×（1+x）-2-3＜0}\end{array}\right.$，然后解一元一次不等式组可对②进行判断；把函数y=x▲（-1）化为y=x（x-1）-2，然后根据二次还是图象上点的坐标特征对③进行判断；把x▲y=y▲x化为x（x+y）-2=y（y+x）-2，然后根据平方根的定义对④进行判断．

解答 解：方程x▲2=0化为x（x+2）-2=0，它的根x₁=-1+$\sqrt{3}$，x₂=-1-$\sqrt{3}$，所以①正确；
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（-2）▲x-4＜0}\\{1▲x-3＜0}\end{array}\right.$化为$\left\{\begin{array}{l}{-2（-2+x）-2-4＜0}\\{1×（1+x）-2-3＜0}\end{array}\right.$，解得为-1＜x＜4，所以②正确；
函数y=x▲（-1）化为y=x（x-1）-2，即y=x²-x-2，则点（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）在函数y=x▲（-1）的图象上，所以③正确；
若x▲y=y▲x，则x（x+y）-2=y（y+x）-2，则x=y或x=-y，所以④错误．
故选A．

点评 本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．