Question

已知直线L：y=kx+b（k≠0，b为负数）与x轴、y轴的交点分别为A，B两点，其中A，B与坐标原点O围成的三角形面积等于12，且直线L与正比例函数y=3x平行．若直线L与一次函数y=4x+1相交于一点C．
（1）求出直线L的解析式；     
（2）求△OAC的面积；
（3）利用图象试求：当x为何值时，不等式4x+1＜3x-6．

Answer 1

分析：（1）根据平行直线的解析式的k值相等求出k=3，然后求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，再根据△AOB的面积列式求出b值，从而得解；
（2）联立两直线解析式求出交点C的坐标，然后求出点C到AB的距离，再根据三角形的面积列式进行计算即可得解；
（3）利用两点法作出函数图象，然后根据上方的图象的函数值比下方的图象的函数值的大解答．

解答：解：（1）∵直线L与正比例函数y=3x平行，
∴k=3，
∴直线L为y=3x+b，
点A（-

b

3

，0），B（0，b），
S_△AOB=

1

2

|-

b

3

|•|-b|=12，
整理得，b²=72，
解得b₁=6

2

（舍去），b₂=-6

2

，
所以，直线L的解析式为y=3x-6

2

；

（2）联立

y=3x-6 2 y=4x+1

，
解得

x=-6 2 -1 y=-24 2 -3

，
所以，点C（-6

2

-1，-24

2

-3），
OA=-

1

3

×（-6

2

）=2

2

，
所以，S_△OAC=

1

2

×2

2

×（24

2

+3）=48+3

2

；

（3）联立

y=4x+1 y=3x-6

，
解得

x=-7 y=-27

，
所以交点坐标为（-7，-27），
由图可知，x＜-7时，不等式4x+1＜3x-6．

点评：本题考查了两直线平行或相交的问题，主要利用了平行直线的解析式的k值相等，联立两函数解析式求交点坐标，应熟练掌握并灵活运用．