Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14cm，求此时t的值；

（2）若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形.

【解析】

（1）根据△BCP的周长为14cm， 可得AP=4t，PC=8-4t，BP=14-PC-BC=4t，根据勾股定理列出方程可求得t的值；

（2）过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理列方程式求出CP，由此可求出t；

（3）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=0.5AB=5，易得t的值；当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．

(1)∵△ABC中,∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得，

如图，连接BP，

当△BCP的周长为14cm 时，

在中根据勾股定理

即

解得.

故此时；

（2）如图1，过P作PE⊥AB，

又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上,且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴CP=EP，

∴△ACP≌△AEP(HL)，

∴AC=8cm=AE，BE=2，

设CP=x，则BP=6x，PE=x，

∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2，

即22+x2=(6x)2

解得x=，

∴CP=，

∴CA+CP=8+=，

∴；

（3）①如图2,当CP=CB时,△BCP为等腰三角形

若点P在CA上，则4t=86，

解得t= (s)；

②如图3，

当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，

∴AC+CB+BP=8+6+6=20，

∴t=20÷4=5(s)；

③如图4，

若点P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=4.8，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，

∴PB=2BD=7.2，

∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，

此时t=21.2÷4=5.3(s)；

④如图5，

当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，

∴PD为△ABC的中位线，

∴AP=BP=AB=5，

∴AC+CB+BP=8+6+5=19，

∴t=19÷4=(s)；

综上所述,t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形.