Question

16．在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b经过A（0，2），B（1，0）．
（1）求直线l的解析式；
（2）以B为直角顶点在l右侧作等腰直角△ABC，在x轴上有一点P，使S_△ABP=S_△ABC，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，直线y=kx-3k与直线l交于点Q，若两直线相交，所成的锐角不小于45°，求点Q的横坐标满足的条件．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系数法求出直线解析式，
（2）先求出AB，从而求出三角形ABC 的面积，进而得出三角形PAB的面积，设出点P的坐标，用三角形PAB的面积建立方程求解即可；
（3）先判断出直线恒通过（3，0），从而求出直线DE解析式，确定出点D坐标，设出Q坐标，由所成的锐角不小于45°建立不等式$\frac{4}{5}\sqrt{5}$≥$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
解不等式即可．

解答 解：（1）∵直线l：y=kx+b经过A（0，2），B（1，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l：y=-2x+2；
（2）∵A（0，2），B（1，0）．
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵以B为直角顶点在l右侧作等腰直角△ABC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$）²=$\frac{5}{2}$，
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴S_△ABP=S_△ABC=$\frac{5}{2}$，
设点P（m，0），
∵B（1，0），
∴PB=|m-1|
∵A（2，0），
∴OA=2
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PB×OA=$\frac{1}{2}$×|m-1|×2=|m-1|=$\frac{5}{2}$，
∴m=-$\frac{3}{2}$或m=$\frac{7}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0），或（$\frac{7}{2}$，0）．
（3）如图，
∵直线y=kx-3k=k（x-3），
∴此直线恒通过点E（3，0），
由（1）知，直线l：y=-2x+2①；
过点E作ED⊥AB，
∴直线ED解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$②，
联立①②得出点D（$\frac{7}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
设Q（n，-2n+2），
∴DQ=$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
DE=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∵直线y=kx-3k与直线l交于点Q，若两直线相交，所成的锐角不小于45°，
∴tan∠BQE=$\frac{DE}{DQ}$≥1，
∴DE≥DQ，
∴$\frac{4}{5}\sqrt{5}$≥$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
∴$\frac{9-\sqrt{5}}{5}$≤n≤$\frac{9+\sqrt{5}}{5}$
∴点Q的横坐标满足的条件为$\frac{9-\sqrt{5}}{5}$≤n≤$\frac{9+\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解不等式，解本题的关键是要所成的锐角不小于45°时，DE≥DQ，难点是判断出直线y=kx-3k恒通过点E（3，0）．