Question

已知：如图，点O在等腰△ABC的一腰AB上．
（1）若AB为⊙O的直径，⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．
（2）如果点O由（1）中的位置在AB上向点B移动，以O为圆心，以OB长为半径的圆交BC于D，若S_△ABC=25，AB=10，点O移动到何处⊙O与AC相切于点F？

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥DE，即DE与⊙O相切；
（2）连接OD，OF，过B作BN⊥AC于N，过B作BN⊥AC于N，根据三角形面积求出高BN，根据△AFO∽△ANB，得出比例式，求出半径OF、OB，求出AG，根据切割线定理求出AF即可．

解答：（1）证明：连接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．

（2）证明：
连接OD，OF，过B作BN⊥AC于N，
∵△ABC的面积是25，AB=AC=10，
∴

1

2

×10×BN=25，
∴BN=5，
∵AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，
设OF=x，
∵OF⊥AC，BN⊥AC，
∴OF∥BN，
∴△AFO∽△ANB，
∴

AO

AB

=

AO

AB

，
∴

10-x

10

=

x

5

，
∴x=

10

3

，
∴AG=10-

10

3

-

10

3

=

10

3

，
∵AF是⊙O的切线，AGB是⊙O的割线，
∴AF²=AG×AB=

10

3

×10，
∴AF=

10 3

3

，
答：AF的长是

10 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，三角形的面积，切割线定理的应用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．