Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． （1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

Answer 1

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC?△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中 ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS） ∴BF=CG；     （2）DE+DF=CG； 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）  ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形 ∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG； （3）仍然成立． 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3） ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形， ∴DE=HG，DH∥BG， ∴∠GBC=∠HDC， ∵AB=AC， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC， ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH， ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．