Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）若平面内有M（1，-2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0，结合图形求解；
（2）过A作AH⊥x轴于H点，可证明△CAB∽△CMD．根据相似形的性质求D点坐标，运用待定系数法求MD的解析式．
（3）根据正方形的性质可直接写出存在的点Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

解答：解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）过A作AH⊥x轴于H点，则AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（过M作MT⊥x轴于T点，则MT=CT=2 ）可证：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

．
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，同理MC=2

2

，
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．
设MD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

k+b=-2 5 3 k+b=0

，
∴

k=3 b=-5

∴函数解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．