【题目】如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:AE=BD;
(2)请判断△CMN的形状,并说明理由。
【答案】(1)见解析(2)是等边三角形,理由见解析.
【解析】
(1)由等边三角形的性质,结合条件可证明△ACE≌△DCB,则可证得AE=BD;
(2)利用(1)的结论,结合等边三角形的性质可证明△ACM≌△DCN,可证得MC=NC,则可判定△CMN为等边三角形.
(1)证明:
∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:△CMN为等边三角形,理由如下:
∵由(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形.
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【题目】(1)操作发现:如图①,点D是等边△ABC的边AB上一动点(点D与点B不重合),连接CD,以CD为边在CD上方作等边△CDE,连接AE,则AE与BD有怎样的数量关系?说明理由.
(2)类比猜想:如图②,若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点,连接CD,以CD为边在CD上方作等边△CDE,连接AE,请直接写出AE与BD满足的数量关系,不必说明理由;
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【题目】“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h;
(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式;并求乙地离小红家多少千米?
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【题目】已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AC=DF,BF=EC.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)FG=CG.
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【题目】如图,已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:
第一次操作,分别作∠ABE和∠DCE的平分线,交点为E1,
第二次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,
第三次操作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,…,
第n次操作,分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线,交点为En.
若∠En=1度,那∠BEC等于 度
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【题目】一不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色不同外其余都相同,搅匀后,
(1)从中一次性摸出两只球,用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球的所有结果并求其概率.
(2)向袋子中放入若干个红球(与原红球相同),搅匀后,从中任取一个球是红球的概率为,求放入红球的个数.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点B(3,0)和点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标;
(2)点C是否在以BE为直径的圆上?请说明理由;
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q、R的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,5),B(1,-2),C(4,0).
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的△.
(2)求△ABC的面积.
(3)在y轴上画出点P,使PA+PC的值最小,保留作图痕迹.
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【题目】我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如图1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,试判断△ABC是否是”等高底”三角形,请说明理由.
(2)问题探究:
如图2,△ABC是“等高底”三角形,BC是”等底”,作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC,连结AA′交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心,求的值.
(3)应用拓展:
如图3,已知l1∥l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,有一边的长是BC的倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A′C所在直线交l2于点D.求CD的值.
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