Question

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx与反比例函数y=

2 3

x

的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-a，O）、C（a，0）．
（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p，k，和a的值；
②观察猜想：对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）是平行四边形．
理由如下：
∵A（-a，0）、C（a，0），
∴OA=OC，
由对称性可知OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：平行四边形；

（2）①∵点B为（p，2），
∴

2 3

p

=2，
解得：p=

3

，
∴点B（

3

，2），
∴

3

k=2，
解得：k=

2 3

3

，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=

1

2

AC，OC=

1

2

BD，
∴OB=OC，
∵OB=

( 3 )2+22

=

7

，
∴a=

7

；

②对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个．
理由：当a=

7

时，点C的坐标为（

7

，0），点A的坐标为（-

7

，0），
若四边形ABCD是矩形，则有OB=OC=

7

，
设点B的坐标为（x，y），得：

x2+y2=( 7 )2 xy=2 3

，
解得：

x= 3 y=2

或

x=2 y= 3

（负值舍去），
∴点B的坐标为（

3

，2）或（2，

3

）；

（3）四边形ABCD不能是菱形．
理由：若四边形ABCD是菱形，
则BD⊥AC，
∵点A、点C在x轴上，
∴直线BD与y轴重合，这与“双曲线y=

2 3

x

不与坐标轴相交”矛盾，
∴四边形ABCD不可能是菱形．