Question

【题目】如图，已知：AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解.

【解析】

（1）根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；

（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．

（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∴∠ADF=∠FAD，

∴FA=FD，

∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，时，四边形AEDF是正方形，

理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

由（1）知四边形AEDF是菱形，

∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．