Question

15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ADB=∠ABE，由∠ADB=∠ACB，得到∠ABE=∠ACB，于是得到结论；
（2）设AE=x，由AE：EC=1：2，得到EC=2x，由（1）得：△ABE∽△ACB，得到$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$，求得AB=$\sqrt{3}$x，证得∠ACB=30°，推出BF=AB=AD，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；

（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：△ABE∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB²=AE•AC，即AB²=x•3x
∴AB=$\sqrt{3}$x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2$\sqrt{3}$x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=$\sqrt{3}$x，
∴BF=AB=AD，
连接AF，则AF=BF=CF，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．