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如图,在直角坐标系xOy中,Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A,C始终在x轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,Rt△OAB的面积恒为
1
2

试解决下列问题:
(1)点D坐标为(  );
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?为什么?
(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
(1)D(
2
2
);(1分)

(2)由Rt△OAB的面积为
1
2
,得B(t,
1
t
),
∵BD2=AC2+(AB-CD)2
∴BD2=(
2
-t)2+(
1
t
-
2
2=t2+
1
t2
-2
2
(t+
1
t
)+4①
=(t+
1
t
)2-2
2
(t+
1
t
)+2=(t+
1
t
-
2
)2

∴BD=|t+
1
t
-
2
|=t+
1
t
-
2
②;

(3)解法一:若OB=BD,则OB2=BD2
在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+
1
t2

由①得t2+
1
t2
=t2+
1
t2
-2
2
(t+
1
t
)+4

解得:t+
1
t
=
2
,∴t2-
2
t+1=0,
∵△=(
2
)2
-4=-2<0,∴此方程无解.
∴OB≠BD.

解法二:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
C(
2
,0),在等腰Rt△OCM中,可求得M(
2
2
2
2
)

∴直线CM的函数关系式为y=-x+
2
,③
由Rt△OAB的面积为
1
2
,得B点坐标满足函数关系式y=
1
x
.④
联立③,④得:x2-
2
x+1=0,
∵△=(
2
)2
-4=-2<0,∴此方程无解,
∴OB≠BD.

解法三:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图1
过点B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H,
∵S△OBG=S△OAB=
1
2

而S△OMH=S△MOC=
1
2
S△DOC=
1
2
×
2
×
2
×
1
2
=
1
2
,(5分)
显然与S△HMO与S△OBG矛盾.
∴OB≠BD.

(4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°,
①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图2
∵BF⊥x轴,DC⊥x轴,∴BFDC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.

②当∠EDB=90°时,如图3
∵CF⊥OD,
∴BDCF.
又AB⊥x轴,DC⊥x轴,
∴BFDC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.
下证平行四边形BDCF为菱形:

解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2
∴t2+
1
t2
=4+t2+
1
t2
-2
2
(t+
1
t
)+4

∴t+
1
t
=2
2

[方法①]t2-2
2
t+1=0,∵BD在OD上方
解得:t=
2
-1,
1
t
=
2
+1或t=
2
+1,
1
t
=
2
-1(舍去).
B(
2
-1,
2
+1)

[方法②]由②得:BD=t+
1
t
-
2
=2
2
-
2
=
2

此时BD=CD=
2

∴此时四边形BDCF为菱形(9分)

解法二:在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t,OE=
2
t,则ED=BD=2-
2
t,
∴AB=AE+BE=t+
2
(2-
2
t)=2
2
-t,
∴2
2
-t=
1
t
,即t+
1
t
=2
2
以下同解法一,
此时BD=CD=
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