分析 (1)连结OD,如图,由CO⊥AB得∠E+∠C=90°,根据等腰三角形的性质由FE=FD,OD=OC得到∠E=∠FDE,∠C=∠ODC,于是有∠FDE+∠ODC=90°,则可根据切线的判定定理得到FD是⊙O的切线;
(2)连结AD,如图,利用圆周角定理,由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°,则∠A+∠ABD=90°,加上∠OBD=∠ODB,∠BDF+∠ODB=90°,则∠A=∠BDF,易得△FBD∽△FDA,根据相似的性质得$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$,
再在Rt△ABD中,根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$,于是可计算出DF=2,从而得到EF=2.
解答 (1)证明:连结OD,如图,
∵CO⊥AB,
∴∠E+∠C=90°,
∵FE=FD,OD=OC,
∴∠E=∠FDE,∠C=∠ODC,
∴∠FDE+∠ODC=90°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥DF,
∴FD是⊙O的切线;
(2)解:连结AD,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠A+∠ODB=90°,
∵∠BDF+∠ODB=90°,
∴∠A=∠BDF,
而∠DFB=∠AFD,
∴△FBD∽△FDA,
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$,
在Rt△ABD中,tan∠A=tan∠BDF=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$,
∴$\frac{DF}{8}$=$\frac{1}{4}$,
∴DF=2,
∴EF=2.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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